belajar Mat

Vektor

Vektor merupakan suatu ruas garis yang memiliki besaran (ukuran panjang/nilai) dan arah.

 

 vektor merupakan besaran yang punya nilai dan arah. Nilai vektor bergantung pada arah tiap-tiap komponennya. Komponen x akan bernilai positif jika arahnya ke kanan dan bernilai negatif jika arahnya ke kiri. Sementara itu, komponen y akan bernilai positif jika arahnya ke atas dan bernilai negatif jika arahnya ke bawah.

 Vektor biasanya diberi nama menggunakan huruf kecil  (misal a) atau titik-titik yang menghubungkannya (misal PQ). 

Pada gambar tersebut terdapat transformasi titik A dengan vektor u hasilnya adalah titik B, dengan pengertian yang sama vektor u merupakan garis berarah dari titik A ke titik B.

 Vektor pada gambar tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut.

Vektor AB tersebut memiiki pangkal vektor yang terletak pada titik A dan ujung vektor yang terletak pada titik B. Berkaitan dengan kesamaan dua vektor, dua vektor dapat dikatakan sebagai vektor yang sama jika nilai (panjang vektor) dan arahnya sama.

Vektor pada bidang

Vektor pada bidang bisa disebut juga sebagai vektor dua dimensi. Pada vektor dua dimensi, kita akan mengenal yang namanya vektor posisi. 

Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal di pusat koordinat (0,0) dan berujung di suatu titik (x,y).

perhatikan gambar di bawah, terdapat dua buah ruas garis, yaitu OP



dan OR. Kita misalkan ruas garis OP sebagai vektor p  dan ruas garis OR sebagai vektor r. Vektor p termasuk vektor posisi karena memiliki pangkal di pusat koordinat O(0,0) dan ujung di titik P(4,2). Sama halnya dengan vektor r yang juga merupakan vektor posisi karena berpangkal di titik O(0,0) dan ujung di titik R(2,4).

Vektor memliki beberapa jenis yang berbeda, yaitu antara lain:

1. Vektor posisi merupakan vektor yang memiliki titik awal di 0 (0,0) serta berakhir pada titik A (a1,a2).

2. Vektor satuan adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang satu – satuan. Vektor satuan 
 
.3. Vektor nol merupakan vektor yang memiliki panjang tidak jelas, karena panjangnya nol dan dinotasikan dengan 0 
4.

Panjang vektor
Vektor Satuan

Hiperbola

Hiperbola adalah bentuk irisan kerucut terakhir yang akan diulas. Komponen penyusun parabola adalah kurva, asimtot, garis arah (dirtektris), titik fokus, titik puncak, dan lain sebagainya. Semua komponen penyusun hiperbola saling berkaitan sehingga dapat dirumuskan sebuah persamaan umum. Nantinya, akan diberikan rumus persamaan umum hiperbola. Sebelumnya, perhatikan unsur-unsur penyusun hiperbola berikut.
Berikut ini adalah gambar hiperbola horizontal dan hiperbola vertikal beserta keterangan unsur-unsur penyusunnya.
  1. Hiperbola Horizontal
    Irisan kerucut (hiperbola)

  2. Hiperbola Vertikal
    hiperbola vertikal
Selanjutnya, akan diulas persamaan yang terdapat pada hiperbola. Untuk pembahasan yang pertama adalah hiperbola dengan pusat O(0,0).
Irisan Kerucut Hiperbola
Berikut ini adalah rumus umum pada hiperbola dengan pusat O(0,0).
Persamaan umum hiperbola
Selanjutnya adalah hiperbola, baik hiperbola horizontal atau hiperbola vertikal, dengan pusat P(p, q).
Perhatikan dua bentuk hiperbola yang diberikan di bawah.
hiperbola pada pusat P
Rumus umum yang dapat digunakan sesuai dua gambar di atas dapat dilihat pada gambar di bawah.
persamaan umum hiperbola

Parabola

Bentuk parabola menyerupai kurva mulus pada persamaan kuadrat. Materi parabola yang akan dibahas di sini meliputi parabola dengan bentuk terbuka ke atas atau ke bawah dan parabola dengan bentuk terbuka ke samping kanan atau kiri. Bentuk parabola ini sesuai dengan persamaan yang membentuknya.
Dua bentuk parabola dapat dilihat pada gambar di bawah.
  1. Parabola horizontal
    Parabola horizontal

  2. Parabola vertikal
    Irisan kerucut (parabola)
Pertama, ulasan yang akan dibahas adala parabola dengan titik puncak O(0, 0). Bentuk umum persamaan parobola, baik untuk parabola horizontal atau parabola vertikal adalah sebagai berikut.
Perhatikan dua bentuk parabola, horizontal dan vertikal, pada gambar di bawah.
parabola
Bentuk umum persamaan parabola horizontal dan vertikal adalah sebagai berikut.
persamaan umum parabola
Kedua, ulasan yang akan dibahas adalah parabola dengan titik puncak P(a, b). Bentuk umum persamaan parobola, baik untuk parabola horizontal atau parabola vertikal adalah sebagai berikut.
Perhatikan dua bentuk parabola, horizontal dan vertikal, pada gambar di bawah.
Irisan Kerucut - Parabola
Bentuk umum persamaan kedua parabola, horizontal dan vertikal, dapat dilihat pada tabel di bawah.
Persamaan umum irisan kerucut (parabola)

Elips

Hasil potongan dari irisan kerucut berikutnya yang akan dibahas adalah elips. Bentuk elips seperti lingkaran yang dipipihkan. Elips dibedakan menjadi dua, yaitu elips horizontal dan elips vertikal. Bagian-bagian elips yang penting untuk diketahui adalah sumbu mayor, sumbu minor, fokus elips, puncak elips, pusat elips, lactus rectum, dan lain sebagainya
Lihat lebih lengkapnya pada gambar di bawah.
Elips Horizontal
Irisan kerucut (elips)

Elips Vertikal
elips vertikal
Berikutnya, akan diulas materi tentang persamaan elips, baik untuk elips horizontal dan elips vertikal.
  1. Elips Horizontal
    Perhatikan dua buah elips dengan dua pusat yang berbeda seperti pada gambar di bawah.
    irisan kerucut elips
    Berdasarkan dua elips di atas, akan diperoleh persamaan-persamaan di bawah.
    persamaan elips pada pusat O dan pusat P

  2. Elips Vertikal
    Berikut ini adalah dua gambar elips vertikal dengan pusat O dan P.
    Elips Vertikal pada pusat O dan Pusat P
    Berdasarkan dua elips di atas, akan diperoleh persamaan umum elips di bawah.
    persamaan elips vertikal pusat O dan P
Pada elips, hubungan antara puncak dan fokus (hubungan a, b, dan c) memenuhi persamaan di bawah.
Jika a > b (elips horizontal):
  \[ a^{2} = b^{2} + c^{2} \]
Jika a < b (elips vertikal)
  \[ b^{2} = a^{2} + c^{2} \]

Lingkaran
Bentuk potongan irisan kerucut jika dipotong sebuah bidang dengan arah mendatar adalah lingkaran. Pembahasan materi irisan kerucut berupa bentuk lingkaran meliputi bentuk umum persamaan lingkaran dengan jari-jari dan pusat yang berbeda. Bentuk umum persamaan lingkaran dibedakan menjadi dua, yaitu berdasarkan pusat. Apakah pusat lingkaran berada di pusat koordinat kartesius O (0, 0) atau berada di suatu titik pada koordinat kartesius P(a, b). Selain itu, ada satu bentuk persamaan lingkaran yang diberikan dalam bentuk lain, yaitu  x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Simak ulasan persamaan rumus lingkaran lebih lengkapnya pada materi di bawah.
1.      Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dengan jari-jari r
Berikut ini adalah gambar lingkaran dan persamaan umum lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r.

 lingkaran pusat O
2.      Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dengan jari-jari r
Berikut ini adalah gambar lingkaran dan persamaan umum lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r.

 lingkaran pusat P
3.      Bentuk umum persamaan lingkaran II
Selain dua bentuk umum persamaan lingkaran yang telah diberikan di atas, ada juga bentuk umum persamaan lingkaran yang dapat digunakan untuk keduanya. Bentuk umum persamaan lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.
persamaan umum lingkaran


Definisi dan Sifat-Sifat Logaritma
Pembahasan pertama dalam materi logaritma adalah definisi dan sifat-sifat logaritma. Melalui sifat-sifat logaritma yang akan kita bahas menyelesaikan semua variasi soal logaritma. Fungsi logaritma merupakan kebalilkan (invers) dari fungsi eksponen atau perpangkatan. Secara umum, bentuk logaritma dinyatakan dalam bentuk berikut.
Contoh menghitung nilai logaritma
  
Untuk menyelsaikan nilai logaritma di atas, kita perlu mencari tahu nilai berapa yang tepat untuk mengganti x pada persamaan 2x = 8. Nilai yang tepat untuk mengganti nilai x adalah 3 karena 23 = 8.
Jadi, nilai 2log 8 = 3.
Contoh nilai logaritma lainnya adalah sebagai berikut
3log 27 = 3 karena 33=27
3log 243 = 5 karena 35=243
4log 16 = 2 karena 42=16
5log 125 = 3 karena 53=125
10log 100 = 2 karena 102=100


Sifat-Sifat Logaritma










Grafik Logaritma
 Fungsi logaritma yang dinyatakan dalam dapat digunakan untuk           membantu menentukan grafik fungsi logaritma. Gambar di bawah     adalah grafik logaritma beserta inversnya.


  

cara menggambar fungsi eksponen.
Jadi, pasti sobat idschool sudah tau dong apa itu fungsi eksponen? Kalau belum, sobat idschool bisa membacanya pada materi pengertian eksponen. Grafik fungsi eksponen merupakan invers dari grafik fungsi logaritma. Bentuk kedua grafik tersebut sama – sama berupa kurva mulus, yaitu lintasan tutup sederhana pada bidang adalah grafik suatu fungsi. 
      cara menggambar grafik fungsi eksponen. Dalam hal ini, kita akan menggambar fungsi y=2x sebagai contoh fungsi eksponen yang akan kita gunakan dalam latihan cara menggambar grafik fungsi eksponen.

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi Eksponen

Cara menggambar grafik fungsi eksponen cukup mudah untuk diikuti. Asalkan sobat idschool sudah mengetahui cara menentukan nilai dari suatu bilangan berpangkat.
Contoh: Gambarlah grafik fungsi y = 2^{x}!
#1 Pertama: Ambil Beberapa Titik Absis (x)
Ambil sembarang titik absis: misalnya kita akan mengambil:
  \[x = -2, -1, 0, 1, 2, \; \textrm{dan} \; 3 \]
#2 Kedua: Tentukan nilai Ordinat (y) sekaligus titik koordinatnya
Untuk x = – 2
  \[ y = \; 2^{-2}\]

  \[ y = \frac{1}{2^{2}} \]
  \[ y = \frac{1}{4} \]
Titik koordinatnya (-2, \frac{1}{4}) 
Untuk x = – 1:
  \[ y = \; 2^{-1} = \frac{1}{2} \]
Titik koordinatnya (-1, \frac{1}{2})

Untuk x = 0:
  \[ y = \; 2^{0} = 1 \]
Titik koordinatnya (0, 1)
Ingat!!! Semua bilangan yang dipangkatkan dengan 0 hasilnya adalah 1 (satu).

Untuk x = 1
  \[ y = \; 2^{1} = 2 \]
Titik koordinatnya (1, 2)

Untuk x = 2:
  \[ y = \; 2^{2} \]
  \[ y = 2 \times 2 = 4 \]
Titik koordinatnya (2, 4)

Untuk x = 3:
  \[ y = \; 2^{3} \]
  \[ y = 2 \times 2 \times 2 = 8 \]
Titik koordinatnya (3, 8)

#3 Ketiga: tentukan letak titik koordinat yang diperoleh dalam bidang kartesius.
Keenam titik koordinat yang diperoleh adalah (-2, \frac{1}{4}); (-1, \frac{1}{2}); (0,1); (1,2); (2,4); dan (3, 8).
Letak keenam titik koordinat yang diperoleh pada bidang koordinat dapat dilihat seperti gambar di bawah.
cara menggambar grafk fungsi eksponen
#4 Keempat: Hubungkan titik-titik yang diperoleh sehingga membentuk kurva mulus
Proses cara menggambar grafik fungsi eksponen hanya tinggal menghubungkan titik-titik koordinatnya. Diperoleh gambar fungsi eksponen dapat dilihat seperti gambar berikut.
grafik fungsi eksponen
 
Created By SoraTemplates | Distributed By Gooyaabi Themes